Turunan Fungsi, Rumus Dasar Turunan, Aturan Rantai, dan Rumus Dasar Turunan Trigonometri

Pengertian Turunan Fungsi

  Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan.

Rumus Dasar Turunan Fungsi

1. f(x), menjadi f'(x) = 0
2. Apabila f(x) = x, maka f’(x) = 1
3. Aturan pangkat : apabila f(x) = xⁿ, maka f’(x) = n X ^{n – 1}
4. Aturan kelipatan konstanta : apabila (kf) (x) = k. f’(x)
5. Aturan rantai : apabila ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

Aturan Rantai

Misalkan dan . Jika terdiferensialkan pada dan terdiferensialkan pada , maka fungsi komposisi yang didefinisikan sebagai terdiferensialkan pada , dengan

Rumus Dasar Turunan Trigonometri

Jika y=sin x maka y’ = cos x

Jika y=cos x maka y’ = –sin x

   Dari rumus dasar diatas tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yaitu turunan fungsi tangens, cotangens, secan dan cosecan. Proses pengembangan rumus tersebut ialah ;
y = tan x maka y’ = sec²x
y = cot x maka y’ = – cosec²x
y = sec x maka y’ = sec x . tan x
y = cosec x maka y’ = – cosec x . tan x
   Maka, terdapat rumus pengembangan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, yaitu sebagai berikut ini ;
   Misalkan u(x) merupakan fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real dan f(u) = sin u, maka untuk y= f [u(x)] diperoleh y’ = f ‘ [u(x)]. u’(x)
y’= (cos u)(u’)
y’= u’.cos u
   Sehingga dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa jika u merupakan fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, maka didapatkan :

Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

Berikut ini ialah beberapa turunan dasar trigonometri yang harus diketahui sebelum anda memecahkan persoalan turunan trigonometri ;

• Jika f(x)= sin x → f ‘(x) = cos x
• Jika f(x)= cos x → f ‘(x) = −sin x
• Jika f(x)= tan x → f ‘(x) = sec2 x
• Jika f(x)= cot x → f ‘(x) = −csc2x
• Jika f(x)= sec x → f ‘(x) = sec x . tan x
• Jika f(x)= csc x → f ‘(x) = −csc x . cot x.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri 1
Misalkan u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, dimana u’ merupakan turunan u terhadap x, maka ;

• Jika f(x)= sin u → f ‘(x) = cos u . u’
• Jika f(x)= cos u → f ‘(x) = −sin u . u’
• Jika f(x)= tan u → f ‘(x) = sec2u . u’
• Jika f(x)= cot u → f ‘(x) = −csc2 u . u’
• Jika f(x)= sec u → f ‘(x) = sec u tan u . u’
• Jika f(x)= csc u → f ‘(x) = −csc u cot u . u’.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri 2

Berikut ini merupakan turunan dari fungsi – fungsi rumus sin cos tan trigonometri dalam variabel sudut ax +b, dimana a dan b ialah bilangan real dengan a≠0 ;

• Jika f(x)= sin (ax + b) → f ‘(x) = a cos (ax + b)
• Jika f(x)= cos (ax + b) → f ‘(x) = -a sin (ax + b)
• Jika f(x)= tan (ax + b) → f ‘(x) = a sec2 (ax +b)
• Jika f(x)= cot (ax + b) → f ‘(x) = -a csc2 (ax+b)
• Jika f(x)= sec (ax + b) → f ‘(x) = a tan (ax + b) . sec (ax + b)
• Jika f(x)= csc (ax + b) → f ‘(x) = -a cot (ax + b) . csc (ax + b)

contoh soal