Turunan Kedua Grafik Fungsi

Cara Membuat Grafik Fungsi dari Turunan Kedua

• Mencari turunan pertama
• Lalu mencari turunan kedua
• Mencari titik kritis
• Menentukan interval fungsi(naik/turun)
• Mencari titik belok
• Mencari kecekungan grafik
• Membuat grafik fungsi dari hasil perhitungan

Contoh Soal:

Turunan Pertama Grafik Fungsi

Cara Membuat Grafik dari Turunan Fungsi Pertama

• Mencari turunan pertama dari soal yang diberikan
• Mencari titik kritis
• Menentukan interval dan fungsi(naik/turun)
• Membuat grafik dari jawaban yang telah dicari

Contoh soal:

 

SOAL MANDIRI 6

 Soal Latihan

 Jawaban :

Turunan Fungsi, Rumus Dasar Turunan, Aturan Rantai, dan Rumus Dasar Turunan Trigonometri

Pengertian Turunan Fungsi

  Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan.

Rumus Dasar Turunan Fungsi

1. f(x), menjadi f'(x) = 0
2. Apabila f(x) = x, maka f’(x) = 1
3. Aturan pangkat : apabila f(x) = xⁿ, maka f’(x) = n X ^{n – 1}
4. Aturan kelipatan konstanta : apabila (kf) (x) = k. f’(x)
5. Aturan rantai : apabila ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

Aturan Rantai

Misalkan dan . Jika terdiferensialkan pada dan terdiferensialkan pada , maka fungsi komposisi yang didefinisikan sebagai terdiferensialkan pada , dengan

Rumus Dasar Turunan Trigonometri

Jika y=sin x maka y’ = cos x

Jika y=cos x maka y’ = –sin x

   Dari rumus dasar diatas tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yaitu turunan fungsi tangens, cotangens, secan dan cosecan. Proses pengembangan rumus tersebut ialah ;
y = tan x maka y’ = sec²x
y = cot x maka y’ = – cosec²x
y = sec x maka y’ = sec x . tan x
y = cosec x maka y’ = – cosec x . tan x
   Maka, terdapat rumus pengembangan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, yaitu sebagai berikut ini ;
   Misalkan u(x) merupakan fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real dan f(u) = sin u, maka untuk y= f [u(x)] diperoleh y’ = f ‘ [u(x)]. u’(x)
y’= (cos u)(u’)
y’= u’.cos u
   Sehingga dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa jika u merupakan fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, maka didapatkan :

Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

Berikut ini ialah beberapa turunan dasar trigonometri yang harus diketahui sebelum anda memecahkan persoalan turunan trigonometri ;

• Jika f(x)= sin x → f ‘(x) = cos x
• Jika f(x)= cos x → f ‘(x) = −sin x
• Jika f(x)= tan x → f ‘(x) = sec2 x
• Jika f(x)= cot x → f ‘(x) = −csc2x
• Jika f(x)= sec x → f ‘(x) = sec x . tan x
• Jika f(x)= csc x → f ‘(x) = −csc x . cot x.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri 1
Misalkan u adalah fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, dimana u’ merupakan turunan u terhadap x, maka ;

• Jika f(x)= sin u → f ‘(x) = cos u . u’
• Jika f(x)= cos u → f ‘(x) = −sin u . u’
• Jika f(x)= tan u → f ‘(x) = sec2u . u’
• Jika f(x)= cot u → f ‘(x) = −csc2 u . u’
• Jika f(x)= sec u → f ‘(x) = sec u tan u . u’
• Jika f(x)= csc u → f ‘(x) = −csc u cot u . u’.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri 2

Berikut ini merupakan turunan dari fungsi – fungsi rumus sin cos tan trigonometri dalam variabel sudut ax +b, dimana a dan b ialah bilangan real dengan a≠0 ;

• Jika f(x)= sin (ax + b) → f ‘(x) = a cos (ax + b)
• Jika f(x)= cos (ax + b) → f ‘(x) = -a sin (ax + b)
• Jika f(x)= tan (ax + b) → f ‘(x) = a sec2 (ax +b)
• Jika f(x)= cot (ax + b) → f ‘(x) = -a csc2 (ax+b)
• Jika f(x)= sec (ax + b) → f ‘(x) = a tan (ax + b) . sec (ax + b)
• Jika f(x)= csc (ax + b) → f ‘(x) = -a cot (ax + b) . csc (ax + b)

contoh soal

LIMIT TRIGONOMETRI

Pengertian Limit Trigonimetri

Limit trigonometri adalah nilai terdekat suatu sudut pada fungsi trigonometri. Perhitungan limit fungsi trigonometri bisa langsung disubtitusikan seperti limit fungsi aljabar tetapi ada fungsi trigonometri yang harus diubah terlebih dahulu ke identitas trigonometri untuk limit tak tentu yaitu limit yang apabila kita langsung subtitusikan nilai nya bernilai 0, atau bisa juga untuk limit tak tentu tidak harus memakai identitas tetapi memakai teorema limit trigonometri dan ada juga yang memakai identitas dan teorema. Jadi, apabila suatu fungsi limit trigonometri di subtitusikan nilai yang paling mendekati nya menghasilkan dan maka kita harus menyelesaikan dengan cara lain.

Rumus Limit Fungsi Trigonometri

 

Rumus kebalikan dalam trigonometri

• sin⁡∝ = 1/csc⁡∝
• cos⁡∝ = 1/sec⁡∝
• tan⁡∝ = 1/cot⁡∝
• tan⁡∝ = sin⁡∝/cos⁡∝
• cot⁡∝=cos⁡∝/sin⁡∝

Identitas Trigonometri dalam trigonimetri

• Sin²⁡∝ + cos²⁡∝ =1

• 1+cot²⁡∝=csc²⁡∝

• Tan²⁡∝+1=sec²⁡∝

Rumus Jumlah dan Selisih dalam trigonimetri

 Rumus Perkalian dalam trigonimetri

  Rumus sudut rangkap dalam trigonimetri

Bentuk Tak Tentu Limit Fungsi I/0

Definisi
  Fungsi f(x)/g(x) dikatakan mempunyai bentuk tak tentu di x=a, jika f(a)=0/∞ dan g(a)=0/∞, yakni :

Berikut dua teorema penting untuk mempelajari limit-limit tak tentu :

Bentuk tak tentu 0/0 :

Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan rumus trigonometri, merasionalkan bentuk pecahannya, dan sebagainya.

Perhitungan limit bentuk tak tentu 0/0 diberikan dalam contoh berikut :

Bentuk tak tentu  ∞/∞ :

 

Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat digunakan adalah merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan bentuk 1/x pangkat n, n bilangan asli, dan sebagainya.

Perhitungan limit bentuk tak tentu ∞/∞ diberikan dalam contoh berikut :

Contoh Bentuk ∞/∞ :

 

Bentuk tak tentu 0.∞ :

 

Contoh Bentuk tak tentu 0.∞ :

 

 Bentuk Tak Tentu ∞ – ∞ :

Contoh Bentuk   ∞ – ∞ :

Bentuk Tak Tentu Limit Fungsi ∞/∞

Definisi
  Fungsi f(x)/g(x) dikatakan mempunyai bentuk tak tentu di x=a, jika f(a)=0/∞ dan g(a)=0/∞, yakni :

Berikut dua teorema penting untuk mempelajari limit-limit tak tentu :

Bentuk tak tentu 0/0 :

Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan rumus trigonometri, merasionalkan bentuk pecahannya, dan sebagainya.

Perhitungan limit bentuk tak tentu 0/0 diberikan dalam contoh berikut :

Bentuk tak tentu  ∞/∞ :

 

Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat digunakan adalah merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan bentuk 1/x pangkat n, n bilangan asli, dan sebagainya.

Perhitungan limit bentuk tak tentu ∞/∞ diberikan dalam contoh berikut :

Contoh Bentuk ∞/∞ :

 

Bentuk tak tentu 0.∞ :

 

Contoh Bentuk tak tentu 0.∞ :

 

 Bentuk Tak Tentu ∞ – ∞ :

Contoh Bentuk   ∞ – ∞ :

Penurunan Fungsi Implisit, Tingkat Tinggi, Transenden dan Eksponensial Asli

Definisi Turunan Fungsi Implisit

Fungsi implisit adalah fungsi yang terdiri dari dua atau lebih variabel yakni variabel bebas dan variabel tak bebas, yang berada dalam satu ruas dan tidak bisa dipisahkan pada ruas yang berbeda.

Contoh Soal Implisit

Definisi Turunan Tingkat Tinggi

Turunan dari fungsi  f  adalah suatu fungsi yang dinamakan turunan pertama dari  f, yaitu f′ jika fungsi f′ ini dihitung lagi turunannya dengan aturan atau definisi turunan, maka diperoleh fungsi baru yang dinamakan turunan kedua dari fungsi f, dan ditulis dengan lambang  f″.

Contoh Soal Tingkat Tinggi


Definisi Turunan Fungsi Transenden
  
fungsi transenden, yaitu yang bukan fungsi aljabar (contoh sin x). setiap titik y berpasangan hanya dengan satu titik x. sejajar dengan sumbu x berpotongan di satu titik. contoh soal transeden.
                                              

Sifat-Sifat Fungsi Transenden

 
Contoh Soal Fungsi Transenden

 
Definisi Turunan Eksponensial Asli

Balikan dari fungsi ln disebut fungsi eksponen asli (exp). Jadi,
                           𝑥 = exp 𝑦⇔𝑦 = ln 𝑥

Rumus-Rumus Eksponensial Asli

 

Sifat-Sifat Eksponensial Asli

1.𝑒𝑥𝑝 (ln𝑥)=exp(𝑦)=𝑥 
2.ln exp(𝑦)=ln(𝑥)=𝑦

Huruf eadalah bilangan real positif yg bersifat: ln𝑒=1.𝑒≈2,718281828459045 

Contoh Soal Eksponensial Asli