Limit Kontinuitas

Contoh Soal :

LIMIT FUNGSI

Klasifikasi Fungsi

Fungsi-fungsi Aljabar

§ Fungsi polinomial

§ Fungsi rasional

§ Fungsi irrasional

Fungsi-fungsi khusus

§ Fungsi dengan banyak persamaan

§ Fungsi dengan nilai mutlak

§ Fungsi genap/ganjil

§ Fungsi periodik

§ Fungsi tangga satuan

Fungsi-fungsi transendent

§ Fungsi trigonometri

§ Fungsi invers trigonometri

§ Fungsi logaritma asli

§ Fungsi ekponensial

Contoh Grafik Fungsi :

Buatlah sketsa grafik kubik,

     y=4x3 – 8x2 – 15x + 9

pada interval, x=–2 dan x=3. Tentukan pula akar-akar persamaan kubiknya 

Jawab

Perhatikan tabel berikut :

x    –2  –1    0      1       2    3

----------------------------------------

y  –25   12   9   –10   –21    0

Dari sketsa grafik akar-akar persamaan, 4x3– 8x2– 15x + 9 = 0, adalah : x= –1,5; x= 0,5 ; x=3

Jawaban : 

Support by : Efy Yosrita, S.Si, M.Kom

FUNGSI DAN GRAFIK

FUNGSI

          Fungsi dalam istilah matematika marupakan pemetaan setiap anggota sebuah himpunan(dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain(dinamakan sebagai kodomain)

GRAFIK FUNGSI

JENIS-JENIS FUNGSI

1. Fungsi Konstan

2. Fungsi Linear

3. Fungsi Kuadrat
           f(x)=x2+2x-3

4. Fungsi Identitas

5. Fungsi Tangga

6. Fungsi Modulus

 

HARGA NILAI MUTLAK

A. Definisi
          Nilai absolut atau nilai mutlak atau modulus adalah nilai suatu bilangan rill tanpa tanda plus atau minus.

B. Sifat Harga Mutlak

C. Contoh Soal

                   

PERTIDAKSAMAAN PADA GARIS BILANGAN

A. Garis Bilangan
          Garis bilangan dalam matematika dasar adalah suatu gambar garis lurus di mana setiap titiknya diasumsikan melambangkan suatu bilangan real dan setiap bilangan real merujuk pada satu titik tertentu.

• Bilangan real dinyatakan dengan notasi R. 
• Bilangan-bilangan real dapat dipandang sebagai titik-titk sepanjang sebuah garis bilangan real

B. Sistem Bilangan Real

C. Sifat-Sifat Bilangan Real

1. Ketertutupan. Suatu bilangan asli jika dilakukan operasi tambah, hasilnya adalah bilangan asli.
2. Komutatif (Pertukaran) Jika bilangan riil a dan b dijumlahkan, hasilnya akan sama walaupun tempat atau posisi bilangan itu ditukar.
3. Asosiatif (Pengelompokan).
4. Distributif atau Penyebaran.
5. Elemen Satuan.
6. Invers.

D.Interval
      
          Interval bilangan real dapat digolongkan ke dalam 11 jenis yang berbeda, di mana a dan b adalah bilangan real, dengan ${\displaystyle a<b}$:

kosong: ${\displaystyle [b,a]=(a,a)=[a,a)=(a,a]=\{\}=\emptyset }$

degenerasi: ${\displaystyle [a,a]=\{a\}}$

proper dan berbatas:

terbuka: ${\displaystyle (a,b)=\{x\,|\,a<x<b\}}$

tertutup: ${\displaystyle [a,b]=\{x\,|\,a\leq x\leq b\}}$

tertutup kiri dan terbuka kanan: ${\displaystyle [a,b)=\{x\,|\,a\,\leq x<b\}}$

terbuka kiri, tertutup kanan: ${\displaystyle (a,b]=\{x\,|\,a<x\leq b\}}$

berbatas kiri dan tak berbatas kanan:

terbuka kiri: ${\displaystyle (a,\infty )=\{x\,|\,x>a\}}$

tertutup kiri: ${\displaystyle [a,\infty )=\{x\,|\,x\geq a\}}$

tak berbatas kiri dan berbatas kanan:

terbuka kanan: ${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\,|\,x<b\}}$

tertutup kanan: ${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\,|\,x\leq b\}}$

tak berbatas di kedua ujungnya: ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )=\mathbb {R} }$

MACAM-MACAM BILANGAN

        A. Pengertian 

Pengertian bilangan dalam matematika adalah ide yang bersifat abstrak yang memberikan informasi tentang banyaknya suatu benda. Ada lambang bilangan yang dituliskan dalam bentuk tulisan yang disebut dengan angka.

 

        B. Macam-Macam Bilangan

1. Bilangan bulat

Bilangan bulat adalah himpunan bilangan bulat negatif, bilangan nol dan bilangan bulat positif.
Contoh: B = { ...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..... }

2. Bilangan asli

Bilangan asli adalah bilanga positif yang dimulai dari bilangan satu ke atas.
Contoh: A = { 1, 2, 3, 4, 5, ..... }

3. Bilangan prima

Bilangan prima adalah bilangan yanga tidak dapat dibagi oleh bilangan apapun, keculai bilangan itu sendiri dan 1 (satu).
Contoh: P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ..... }

4. Bilangan cacah

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan positif dan nol
Contoh: C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..... }

5. Bilangan nol

Bilangan nol adalah bilangan nol itu sendiri (0)
Contoh: N = { 0 }

6. Bilangan pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan a disebut sebagai pembilang dan bilangan b disebut sebagai penyebut.
Contoh: H = { ⅓, ⅔, ⅛, ⅝, ..... }
Keterangan tambahan: 4/2 = 2, berarti 4/2 bukan termasuk pecahan.

7. Bilangan rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a dan b adalah anggota bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh: R = { ¼, ¾, .... }

8. Bilangan irrasional

Bilangan irrasional adalah bilangan – bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau bilangan selain bilangan rasional.
Contoh: I = { √2, √3, √5, √6, √7, ..... }
Keterangan tambahan: √4 = 2, berarti √4 bukan termasuk bilangan irrasional.

9. Bilangan Real

Bilangan real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional itu sendiri.
Contoh: R = { 0, 1, ¼, ⅔, √2, √5, ..... }
10. Bilangan imajiner
Pengertian bilangan imajiner atau bilangan khayal adalah bilangan yang mempunyai sifat i² = 1.
11.Bilangan komplek
Bilangan komplek adalah bilangan yang terbentuk dari bilangan real dan bilangan imajiner yang dinyatakan dalam bentuk a + bi. a dan b adalah bilangan real dan i bilangan imajiner.
12. Bilangan ganjil
Pengertian bilangan ganjil adalah bilangan yang terdiri dari angka ganjil atau tidak bisa dibagi dua. Contoh bilangan ganjil adalah 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, …
13. Bilangan genap
Pengertian bilangan genap adalah bilangan yang terdiri dari angka genap.
Contoh bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, …

TRANSFORMASI LINEAR

Transformasi Linear

Misalkan V dan W adalah ruang Vektor, T : R²àR³ dinamakan transformasi linear apabila untuk setiap u,v ∈ R² dan k ∈ W berlaku :
    a.T(u+v) = T(u)+T(v)
    b.T(ku) = kT(u)
Jika R²=R³ maka T dinamakan operator linear

Contoh :

 

 

BASIS RUANG BARIS DAN KOLOM

Ruang Baris Dan Kolom

contoh soal :

BASIS DAN DIMENSI

          Sebelum membaca blog ini saya sarankan untuk membaca blog saya sebelumnya.

https://gemanaufalpejuangmudasttpln.blogspot.com/2018/12/basis-dan-dimensi.html

Basis

           Basis adalah himpunan vektor, yang dalam sebuah kombinasi linear dapat merepresentasikan setiap vektor dalam suatu ruang vektor. Tidak ada elemen dalam himpunan vektor tersebut yang dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear vektor-vektor lain. Basis juga dapat dianggap sebagai "sistem koordinat". Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang V jika :

• S Vektor Bebas Linier

• S membangun V

Dimensi


          Sebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jika ruang vektor V mengandung sebuah himpunan berhingga vektor S = {u1, u2,…,un} yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis V.


Contoh Soal

support by: Efy Yosrita, S.Si,M.Kom 

RUANG VEKTOR

Ruang Vektor

Misalkan A sembarang himpunan A dikatakan sebagai ruang vektor bilamana syarat-syarat berikut terpenuhi:

     (1) Jika u dan v vektor-vektor di V, maka u + v juga berada di V.
     (2) u+v = v+u
     (3) u+(v+w) = (u+v)+w
     (4) Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0+u=u+0
     (5) Untuk setiap u di V terdapat –u di V sehingga u+(-u) = -u+u =0
     (6) Jika k skalar dan u di V, maka ku berada di V
     (7) k(u+v) = ku + kv
     (8) (k + l)u = ku + lu
     (9) k(lu) = (kl)u
    (10) 1u = u

Kombinasi Linier

Sebuah vektor A dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u1, u2,…, un jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :
                                                        A= k1u1+ k2u2 +… + knun


Membangun Ruang Vektor

Jika u1, u2,…,un adalah vektor-vektor pda ruang vektor V, dan jika setiap vektor x pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier u1, u2,…,un, maka u1, u2,…,un dikatakan membangun ruang vektor V.

Kebebasan Linier

Andaikan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas linier bilamana kombinasi linier :
                                     k1u1 + k2u2 + … + knun = 0

penyelesaiannya adalah trivial yakni k1 = 0, k2 = 0,…, kn = 0. Jika ada penyelesaian lain (non trivial), maka S dikatakan tak bebas linier.

contoh soal: 

 Terima kasih telah mengunjungi blog saya.

support by: Efy Yosrita, S.Si,M.Kom

DIAGNOLISASI

          Sebelum saya membahas materi diagnolisasi buka dulu blog saya sebelumnya agar kalian mengerti karena materi ini lanjutan dari materi eigen dan vektor eigen.

https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=8147331265381734896#editor/target=post;postID=4731751977768566629;onPublishedMenu=allposts;onClosedMenu=allposts;postNum=1;src=link

Sebelumnya saya ucapkan terima kasih banyak kepada kalian yang telah membaca blog ini dan memberikan like.

Diagnolisasi

     ini adlah rumus mencari diagnolisasi

 D = P–1AP

   untuk mencari hasil diagnolisasi kita pertama harus mencari nilai P lalu kita invers mejadi (P–1)setelah itu kita kalikan dengan matriks yang kita simbolkan sebagai (A) dan kita kalikan lagi terhadap matriks P yang telah kita dapatkan sebelumnya.

Contoh Soal :

 Cara penyelesaian :

Cara penyelesaian diatas saya hanya menerangkan = 6 saja, yang =3 bisa kalian coba untuk di rumah.





support by: Efy Yosrita, S.Si,M.Kom 

EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Nilai Eigen(${\displaystyle \lambda }$) adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n, sementara vektor Eigen (${\displaystyle x}$) adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri

Teknik Menghitung Nilai Eigen.

Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen matrik A adalah :
(1)Bentuk matrik (I – A)
(2)Hitung determinan, det(I – A)=0
(3)Tentukan persamaan karakteristik dari, (I – A) = 0
(4)Hitung akar-akar persamaan karakteristik (nilai lamda)
(5)Hitung vektor eigen dari SPL, (I – A)x=0


contoh soal :

cara penyelesaian :

Jadi, vektor eigen dari matriks tersersebut adalah
X1 = [-2,1,0]
X2 = [-2,0,0]
X3 = [-1,1,1]








support by: Efy Yosrita, S.Si,M.Kom